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点到直线的距离公式


99课纲中将圆与直线的单元放在平面向量之前,进而讨论圆与直线的关係时,特别强调运用圆与直线的联立方程式之解的形态(相等实根、两相异实根,及没有实根) 的「代数判定」方法。儘管此法的使用具有一般性,但计算通常较为繁杂。因此,老师通常还会介绍点到直线的距离公式,利用圆心与直线的距离来判断两者的关係。

然而,此距离公式的介绍常借助向量方法进行证明,使得许多老师倡议将圆与直线与平面向量两个单元互换。不过,仅仅为了一个公式的证明大费周章,并且,更动后也涉及平面上直线的向量表示和直线方程式之间的调整问题。本文中提出几个在99课纲中无须调动次序,也可达到证明点到直线的距离公式之目标的证法。

点到直线的距离公式

证法一:(过 \(P\) 点作直线 \(L\) 的垂线,找垂足 \(H\))

点到直线的距离公式

如右图,作 \(\overline{PH}\) 垂直 \(L\) 于 \(H\),

则直线 \(PH\) 方程式为 \(bx-ay=bx_0-ay_0\)

解联立方程式 \(\left\{ \begin{array}{l} ax + by + c = 0\\ bx – ay = b{x_0} – a{y_0} \end{array} \right.\),

即得 \(\displaystyle H(\frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}},\frac{{ – ab{x_0} + {a^2}{y_0} – bc}}{{{a^2} + {b^2}}})\)

进而 \(\begin{array}{ll} d(P,L) &=\displaystyle \overline {PH}= \sqrt {{{({x_0} – \frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}})}^2} + {{({y_0} – \frac{{ – ab{x_0} + {a^2}{y_0} – bc}}{{{a^2} + {b^2}}})}^2}}\\&=\displaystyle\sqrt {\frac{{{{(a{x_0} + b{y_0} + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}= \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

此法概念简单,直接硬算,但整体过程不算複杂,可鼓励学生尝试。

证法二:(若 \(A\) 为直线 \(L\) 上任一点,则 \(\overline{AP}\) 的最小值\(=\)点 \(P\) 到直线 \(L\) 的距离)

令 \(A(x,y)\) 为直线 \(L\) 上任一点,则 \(ax + by + c = 0 \Rightarrow y = \frac{{ – 1}}{b}(ax + c)\)

\(\begin{array}{ll}\displaystyle{\overline {AP} ^2} &=\displaystyle {(x – {x_0})^2} + {(y – {y_0})^2} = {(x – {x_0})^2} + \frac{1}{{{b^2}}}{(ax + c – {y_0})^2} \\&=\displaystyle\frac{1}{{{b^2}}}[({a^2} + {b^2}){x^2} + 2( – {b^2}{x_0} + ab{y_0} + ac)x + {b^2}{x_0}^2 + {(b{y_0} + c)^2}]\end{array}\)

利用二次函数的性质,当 \(\displaystyle x =\frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}}\) 时,有最小值。

此时,\(\displaystyle x = \frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

故 \(\begin{array}{ll} d(P,L) &=\displaystyle \sqrt {{{(\frac{{{b^2}{x_0} – ab{y_0} – ac}}{{{a^2} + {b^2}}} – {x_0})}^2} + {{(\frac{{ – ab{x_0} + {a^2}{y_0} – bc}}{{{a^2} + {b^2}}} – {y_0})}^2}} \\&=\displaystyle \sqrt {\frac{{{{(a{x_0} + b{y_0} + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}=\frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

事实上,发生最小值的 \(A\) 点即为证法一所求出的垂足 \(H\)。利用两点距离的最小值来求点到直线距离的作法具有一般性,也是空间中解决点到直线距离的主要方法。

证法三:(利用三角形面积)

点到直线的距离公式

如右图,过点 \(P(x_0,y_0)\) 分别作铅直线和水平线交直线 \(L\)

于 \(A({x_0}, – \frac{{a{x_0} + c}}{b})\)、\(B(-\frac{{b{y_0}+c}}{a},{y_0})\)

\(\Delta APB\text{的面积} = \frac{1}{2}\overline {PA}\times \overline {PB}= \frac{1}{2}\overline {AB}\times\overline{PH}\)

\(\overline {PA}\displaystyle= \left| {{y_0} – ( – \frac{{a{x_0} + c}}{b})} \right| = \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{b}} \right|\\\overline {PB}\displaystyle= \left| {{x_0} – ( – \frac{{b{y_0} + c}}{a})} \right| = \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{a}} \right|\\\overline {AB}=\displaystyle\sqrt {{{({x_0} + \frac{{b{y_0} + c}}{a})}^2} + {{({y_0} + \frac{{a{x_0} + c}}{b})}^2}}= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{ab}}} \right|\)

因此,\(d(P,L)=\displaystyle\overline{PH}=\frac{\overline{PA}\times\overline{PB}}{\overline{AB}}=\frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

利用三角形面积的高来求距离,也是另一种常见的作法。

证法四:(利用三角函数)

点到直线的距离公式

如右图,过点 \(P(x_0,y_0)\) 作水平线交直线 \(L\) 于

\(\displaystyle B( – \frac{{b{y_0} + c}}{a},{y_0})\) 且 \(L\) 与 \(x\) 轴的正向夹角为 \(\theta\)。

直线 \(L:ax+by+c=0\) 的斜率 \(m=-\frac{a}{b}=\tan\theta\)

则 \(\displaystyle\sin \theta= \sin (\pi-\theta)=\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

则 \(\begin{array}{ll}\displaystyle\overline {PH}&=\displaystyle\overline {PB} \sin \theta\\&=\displaystyle \left| {\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{a}} \right|\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\&=\displaystyle \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

此一证法运用学生刚学过的三角函数,也说明了正切函数 \((\tan\theta)\) 与斜率之间的关係,用来证明点到直线的距离恰到能呼应99课纲的安排,此法最早见于内坜高中林协亿老师写于数学学科中心电子报第60期〈九九课纲中,点到直线距离公式的诠释〉一文。

上述所提四种证法都能避开向量的使用,同时,所运用的证明概念也具有一般性,老师们在介绍点到直线的距离公式时或可一试!


参考资料:

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